第五章 微分中值定理

函数极值与 Fermat 引理：极值点(定义中可以取等于)的局部性；可无穷；不牵涉其他性质

Rolle 定理：满足条件函数在闭区间上连续开区间上可导，且端点值相等；充分条件

（实际中常被用来讨论一个函数及其导函数在某个范围内的零点问题）

Lagrange 中值定理：满足条件函数在闭区间上连续，开区间上可导（做辅助函数）

一阶导与单调性的关系（应用 Lagrange 中值定理）

函数的凸型（下凸函数、上凸函数）；函数拐点（凹凸性改变的点;二阶导=0）

二阶导与凸性的关系（应用 Lagrange 中值定理）

Jensen 不等式：

Cauchy 中值定理 (满足条件函数闭区间上连续, 开区间上可导, \(g'(x) \) 恒不为零): Lanrange 中值定理的参数表达; 或 Lanrange 中值定理为 \(g(x)=x\) 的特殊情况.

待定型极限（0/0；∞/∞）

L'Hospital 法则（逆命题不成立）

不能应用 L'Hospital 法则的情况:分母为有限值(使用前先对极限类型加以检验）

Taylor 公式

带 Peano 余项的 Taylor 公式（函数满足在某点处有 n 阶导数）

带 Lagrange 余项的 Taylor 公式（函数满足在某闭区间上有 n 阶连续导数，开区间上有 n+1 阶导数）

Peano 要求稍弱于 Lagrange，Lagrange 结论稍强于 Peano

Maclaurin 公式：函数在 x=0 处的 Taylor 公式

求曲线渐近线：垂直渐近线、水平渐近线、渐近线方程

驻点：一阶导为零

极值点判定定理（满足条件函数在某点连续且邻域内有定义）

最值问题